<전체 개괄>

학교나 학원에서 ‘정의에 입각하여 문제를 풀어라’라는 말을 많이 들어보셨을 겁니다. 수학에서 새로운 내용을 배울 때 수학 자체가 ‘정의’를 기반으로 하는 학문이므로 문제를 풀 때 발문에 포함된 단어의 ‘정의’를 떠올려주셔야합니다. 이렇게만 말씀드린다면 어떻게 개념을 생각해야할지, 어떻게 공부를 해야할지에 대한 아무 설명이 없는 무책임한 말이 되겠지요. 지금부터 그 수2의 개념이란 것에 대해 말씀드리겠습니다.

앞서 말씀드렸듯이 수학의 핵심은 ‘정의’입니다. O/X가 명확할 수 있는 학문이라는 뜻입니다. 여태까지 배웠던 내용과 앞으로 배울 내용을 O/X로 정리하자면 다음과 같습니다.

고등학교 1학년 때까지는 고정점에 대해서 배웠습니다. 중학교 때는 좌표를 찍어 연결하여 그래프를 그리는 방법을 배웠고 고등학교에 올라와서는 이미 만들어져있는 식에 특정 값을 대입하여 구하는 법을 배우기도 하였습니다. 그럼 이때까지의 개념에서의 O/X는 무엇일까요? 좌표평면 상에서 나타낼 수 있냐 아니냐가 핵심이라고 생각합니다. 그렇기에 수의 구분, 즉 실수와 허수의 개념을 공통수학에서 배운 바 있습니다.

여기서의 O/X는 ‘평면좌표에 표시할 수 있는가’ 입니다. 실수의 정의가 ‘좌표평면에 나타낼 수 있는 수’이며 허수는 실수를 제외한 복소수를 의미합니다. 앞으로의 문제들에서 보통 실수를 중점으로 다루기 때문에 허수는 정의만 알아두시고 실수만 챙겨갑시다.

이제부터 수2의 내용입니다. 지금까지 고정된 점에 대해 배웠으며 이제부터는 이동하는 점인 극한값(limit)에 대해 배웁니다. 극한의 정의는 어떤 값 f(x)가 x의 값이 어떤 수로 한없이 가까워질 때 일정한 수준에 한없이 가까워지는 것을 의미합니다. 그렇다면 여기서 O/X는 ’극한값이 존재하는가‘가 되겠지요. 일반적으로 x가 어떤 수에 가까워진다면 좌표평면상에서 좌측에서 가까워질 때와 우측에서 가까워질 때를 따로 생각해주어야할 것입니다.

따라서 극한값이 존재한다는 것은 좌측에서 가까워지는 값(좌극한)과 우측에서 가까워지는 값(우극한)이 같을 때를 의미하며 식으로 나타낸다면 다음과 같습니다.

그런데 여기서 a는 실수입니다. 우리가 배운 내용으로는 허수를 제외하면 모두 가능합니다. 하지만 실수 중에서도 좌표평면 상에서 표시가 불가한 것이 있습니다. 바로 무한대(∞)입니다. 그래서 우리는 수렴과 발산을 배웁니다. 어떤 식을 극한을 취했을 때 어떤 무한대가 아닌 실수에 한없이 가가워진다면 이를 수렴한다고 하며 수렴하지 않으면 발산한다고 합니다. 이제 우리는 여기까지 배웠습니다.

이제 우리는 좌극한과 우극한이 같으며 그 때의 값이 좌표평면에서 나타낼 수 있는 실수일 때 극한값이 존재함을 알게 되었습니다.

이제 고정값이 무엇인지, 이동값(극한값)이 무엇인지에 대해 배웠으니 이 둘의 관계를 알아야겠죠? 그 관계가 바로 ‘연속’입니다. 어떤 함수가 특정 지점에서의 고정값과 극한값이 같을 때 우리는 해당 지점에서 ‘함수가 연속하다’ 라고 합니다. 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

쉽게 말로 하자면 함수가 한붓 그리기가 가능해야한다는 것입니다. 함수의 그래프를 그릴 때 한 번이라도 손을 떼어야한다면 그 함수는 연속하다고 할 수 없습니다.